MECÁNICA Y TERMODINÁMICA RELATIVISTAS

Una guía del estudiante de la teoría de la relatividad especial de Einstein

La Teoría Especial de la Relatividad de Einstein, más allá de la presentación fuera de contexto, de sus famosas paradojas, dilatación del tiempo y contracción de longitudes, sólo se aplica en Mecánica al comportamiento de partículas elementales en aceleradores de partículas. En termodinámica se ha intentado aplicar, con éxito desigual, incurriéndose en varios formalismos incompatibles entre sí. El objetivo de este curso es la resolución de problemas, es decir, la descripción de procesos, en los que toman parte cuerpos extensos, deformables, y en cuya resolución intervienen tanto las leyes de la mecánica, en particular, la segunda ley de Newton, y las leyes de la Termodinámica, utilizando el formalismo de la Ecuación Fundamental con Cuadri-vectores, con cuadri-vectores de Minkowski, construidos con ayuda de la Teoría de la Relatividad de Einstein, y cumpliéndose el Principio de relatividad al transformarse estas ecuaciones entre los referenciales inerciales mediante la transformación de Lorentz

0-Resolución clásica de problemas

1-Análisis del problema

Se procede a resolver clásicamente el problema de un cuerpo que cae por un plano inclinado con rozamiento. En esta primera parte se realiza un análisis de las fuerzas que actúan sobre el sistema, y se plantea como se realizarán el estudio mecánico y termodinámico del proceso mediante las correspondientes leyes.

2-Estudio dinámico

Se realiza el estudio mecánico del proceso, en el que se plantean las dos leyes principales de la mecánica de un proceso: La segunda y media ley de Newton y la Relación dinámica-complementaria de la segunda ley de Newton.

3-Análisis termodinámico

Se realiza el estudio termodinámico del proceso, en el que se plantean las dos leyes principales de la termodinámica que estudian las transformaciones de energía y la variación de entropía de un proceso: La primera y la segunda ley de la termodinámica. Además, se introduce el concepto de trabajo perdido y como este se relaciona con la variación de entropía del universo.

4-Cambio de sistema de referencia

Una vez resuelto el problema del cuerpo que cae por un plano inclinado con rozamiento desde un sistema de referencia, ahora mediante las transformaciones de desplazamientos y de velocidades de Huygens-Galileo, resolvemos el problema ahora descrito desde un sistema el cual se mueve con una cierta velocidad constante respecto del plano inclinado.

Caida por un plano inclinado

Compresión de un gas en un pistón

1-Introducción al formalismo relativista con cuadrivectores

1-Formalismo y postulados relativista

En este primer video de introducción al formalismo relativista y de cuadrivectores se muestra cual es la estructura principal de este formalismo, que será aquella por la que se resolverán gran parte de los problemas planteados, y se exponen los dos postulados de la relatividad que deben cumplirse si el problema esta bien planteado.

2- Introducción a los cuadrivectores

En este video se presentan las principales propiedades de los cuadrivectores y algunos de los cuadrivectores más carácteristicos como son el CV espacio-tiempo y el CV transformación de Lorentz.

3- CV momento lineal-energía

En este video se introduce el cuadrivector momento lineal- energía, construyendo dicho cuadrivector de un sistema termodinámico formado por varias partículas. A demás, esto lleva a tener que introducir el principio de inercia de la energía de Einstein, que deberá tenerse en cuenta a la hora de realizar el análisis energético de un proceso.

4- CV impulso lineal-trabajo y CV calor.

Se presentan a los cuadrivectores impulso lineal-trabajo y calor, teniendo en cuenta la consideracion relativista de que el sólido rígido no es posible ya que incumpliría los postulados de la relatividad, así como la definición de Born de calor. Finalmente, se plantea con los cuadrivectores expuestos la ecuación fundamental con cuadrivectores con la que se procederá a resolver los problemas.

Formalismo relativista con cuadrivectores

2-Resolución relativista de problemas en traslación

1- Planteamiento del problema y consideraciones relativistas

Se procede a resolver el problema de caída por un plano inclinado sin rozamiento en el que se conserva la energía mecánica mediante el formalismo con cuadrivectores. Para ello, en primer lugar, se plantea la resolución de un problema similar en un plano horizontal, de tal manera que se presentan una serie de consideraciones relativistas de una manera más simplificada, que serán de utilidad para el problema del plano inclinado posteriormente.

2-Resolución del plano horizontal mediante formalismo con CV

En este video se aplica el formalismo con cuadrivectores para resolver el problema de un bloque que es empujado al aplicarle una fuerza sobre un plano horizontal sin rozamiento. Para ello, se desarrollan los cuadrivectores correspondientes, que al situarse en la ecuación fundamental con CV permitirán obtener las ecuaciones que describen el proceso en este sistema de referencia. Finalmente, mediante la aplicación de la transformación de Lorentz a los diferentes cuadrivectores, se obtienen las ecuaciones que describen el mismo proceso observado desde un nuevo sistema de referencia.

3- Resolución del plano inclinado mediante formalismo con CV

Una vez aplicado el formalismo en el caso del plano horizontal, se procede a aplicar dicho formalismo en el caso de la caída de un bloque por un plano inclinado sin rozamiento. De nuevo, se plantean los diferentes cuadrivectores, que introducidos en la ecuación fundamental permiten obtener la ecuaciones que describen el proceso. A demás, para profundizar en las aplicaciones que tiene el resolver el problema con cuadrivectores, se emplea por un lado el operador de giro a la ecuación fundamental y se comparan los resultados obtenidos previamente en el plano horizontal. Y por otro lado, se aplica el CV de inversión temporal para realizar un análisis sobre la invertibilidad mecánica del proceso.

4-Cambio de sistema de referencia

Finalmente, se realiza el cambio de sistema de referencia aplicando la transformación de Lorentz a cada uno de los cuadrivectores de la ecuación fundamental, observando en cada uno de ello los efectos relativistas. A demás, se obtienen las ecuaciones en este nuevo sistema de referencia y se observa como se cumple el principio de relatividad. Por último, se presentan una serie de conclusiones sobre la resolución de un problema con el formalismo con cuadrivectores.

Problema 1T: Conservación de la energía mecánica en traslación

1-Planteamiento de la ecuación fundamental con CV

Se plantea la resolución de un problema de disipación de energía mecánica en traslación, en este caso el de un bloque que es lanzado sobre un plano horizontal con rozamiento con una cierta velocidad inicial. En este primer video se realiza un análisis previo del problema y se plantea la estructura de la ecuación fundamental con cuadrivectores que permitirá obtener las ecuaciones que describan el proceso identificando cada uno de los cuadrivectores.

2-Obtención y análisis de los cuadrivectores

Se construyen los diferentes cuadrivectores que forman la ecuación fundamental y se analiza cada una de sus partes espaciales y temporales, llegando a la conclusión de cómo varía la energía del bloque, que fuerzas que se le aplican realizan o no trabajo, y aparece el cuadrivector calor, que es estudiado bajo la definición de Born de calor.

3-Obtención y análisis de las ecuaciones

Se obtienen las ecuaciones que describen el proceso en el sistema en el que que el observador se encuentra sobre la tabla sobre la cual se desliza el bloque. A demás, se realiza un estudio de las variaciones de entropía del sistema y del entorno.

4-Transformación de Lorentz

Se realiza un cambio de sistema de referencia para describir el proceso del movimiento del bloque, ahora para un observador que ve que se mueve el sobre sobre una cinta transportadora en movimiento. Para ello, se aplica la transformación de Lorentz multiplicando su cuadrivector por cada uno de los cuadrivectores de la ecuación fundamental observando como aparecen ciertos efectos relativistas.

5-Obtención y análisis de las ecuaciones en el nuevo sistema.

Se obtienen de manera similar a la anterior las ecuaciones que describen el proceso en el nuevo sistema de referencia, y se observa las diferencias y similitudes respecto de las anteriores en el primer sistema de referencia. A demás, se comprueba como con la transformación de Lorentz el principio de relatividad se cumple automáticamente.

Problema 2T: Disipación de energía mecánica en traslación

1- Formalismo relativista sobre bloque que asciende por plano

Se procede a resolver el problema de un bloque que asciende por un plano inclinado sin rozamiento debido a una reacción química mediante el formalismo relativista. En un primer planteamiento del problema, se elige únicamente el bloque como sistema de estudio, y se resuelve el problema sin profundizar en el origen de la fuerza química.

2- Formalismo relativista sobre el bloque y reacción química.

En esta segunda parte se resuelve de nuevo el problema, pero esta vez eligiendo como sistema el bloque y las reacciones químicas. De esta manera se analiza el origen de las fuerzas químicas, de las energías mecánicas producidas y se cuantifica la relación entre esa fuerza y el consumo de combustible.

3- Cambio de sistema de referencia

Se realiza un cambio de sistema de referencia para describir el proceso en el que el plano inclinado se mueve con una cierta velocidad respecto al observador. Para ello, se aplica la transformación de Lorentz a la ecuación fundamental con cuadrivectores y finalmente se obtienen las ecuaciones que describen el proceso en este nuevo sistema de referencia.

4- Formalismo sobre seres vivos en procesos de creación de EM.

Se plantea otro problema de producción de energía mecánica, pero esta vez la reacción química se genera en el interior de un ser vivo, como es el caso de una persona que empuja un armario.

5-Cambio de sistema de referencia e invarianza del combustible

Se realiza un cambio de sistema de referencia, en el que ahora se pretende describir el proceso en un sistema en el que la persona empuja un armario sobre una cinta transportadora en movimiento. Finalmente, se extraen una serie de conclusiones tras la resolución de estos dos problemas de producción de energía mecánica, entre ellas como el consumo de combustible es un invariante relativista.

Problema 3T: Producción de energía mecánica en traslación

3-Introducción al formalismo relativista en rotación

1-Necesidad de un buen planteamiento del problema

En este primer vídeo, sentamos las bases teóricas y metodológicas para resolver problemas de rotación en física avanzada. Aprenderemos a establecer los criterios exactos para realizar un planteamiento inicial sólido y sin errores. El objetivo de esta sesión es preparar el terreno: si estructuramos bien el problema desde el principio, podremos aplicar el formalismo relativista más adelante con total seguridad, garantizando que cumplimos estrictamente con todos los principios de la relatividad.

2-Ecuaciones clásicas en rotación

En este segundo vídeo abordamos un problema clásico de colisiones y cuerpos rígidos: una bola impacta contra una barra fuera de su centro de masas, induciendo un movimiento de rotación. Para resolverlo, planteamos paso a paso las ecuaciones clásicas del sistema. Veremos en detalle la aplicación de las Ecuaciones de Poinsot-Euler y analizaremos su relación dinámica complementaria, una base fundamental para comprender el comportamiento de la barra antes de dar el salto relativista

3-Planteamiento relativista en rotación

En este tercer vídeo abordamos el planteamiento relativista del problema. Para ello, desglosamos la distribución de fuerzas elemento por elemento, lo que nos permite formular ecuaciones individuales y, posteriormente, integrarlas en el sistema general mediante superposición. Además, introducimos el concepto de inercia relativista en rotación. Analizaremos cómo se altera esta magnitud al girar el cuerpo y demostraremos su dependencia directa de la función característica del sistema.

4- Producto vectorial de dos vectores

Volvemos a resolver un problema de rotación dentro del marco de la física clásica, pero esta vez damos un salto en el nivel matemático. Introducimos una nueva herramienta: expresamos el producto vectorial de dos vectores como una matriz antisimétrica 3x3 para deducir la Ecuación de Poinsot-Euler. Este enfoque matricial no es casualidad; es la introducción perfecta y el formalismo necesario para abordar la resolución relativista que veremos en el próximo vídeo mediante el uso de cuadrivectores.

5- Generalización a cuadrivectores

En este último vídeo de la serie, damos el paso definitivo resolviendo el problema de rotación mediante una aproximación semiclásica. Este desarrollo es clave porque establece, paso a paso, el formalismo matemático que se emplea en relatividad . Veremos cómo generalizar el producto vectorial clásico al producto de dos cuadrivectores. El resultado es un imponente tensor antisimétrico 4x4, a partir del cual extraeremos las ecuaciones finales que describen todo el proceso físico.

MECÁNICA Y TERMODINÁMICA RELATIVISTAS

Una guía del estudiante de la teoría de la relatividad especial de Einstein

0-Resolución clásica de problemas

1-Análisis del problema

2-Estudio dinámico

3-Análisis termodinámico

4-Cambio de sistema de referencia

Caida por un plano inclinado

1-Análisis del problema

2-Estudio mecánico-termodinámico

3-Cambio de sistema de referencia

Compresión de un gas en un pistón

1-Introducción al formalismo relativista con cuadrivectores

1-Formalismo y postulados relativista

2- Introducción a los cuadrivectores

3- CV momento lineal-energía

4- CV impulso lineal-trabajo y CV calor.

Formalismo relativista con cuadrivectores

2-Resolución relativista de problemas en traslación

1- Planteamiento del problema y consideraciones relativistas

2-Resolución del plano horizontal mediante formalismo con CV

3- Resolución del plano inclinado mediante formalismo con CV

4-Cambio de sistema de referencia

Problema 1T: Conservación de la energía mecánica en traslación

1-Planteamiento de la ecuación fundamental con CV

2-Obtención y análisis de los cuadrivectores

3-Obtención y análisis de las ecuaciones

4-Transformación de Lorentz

5-Obtención y análisis de las ecuaciones en el nuevo sistema.

Problema 2T: Disipación de energía mecánica en traslación

1- Formalismo relativista sobre bloque que asciende por plano

2- Formalismo relativista sobre el bloque y reacción química.

3- Cambio de sistema de referencia

4- Formalismo sobre seres vivos en procesos de creación de EM.

5-Cambio de sistema de referencia e invarianza del combustible

Problema 3T: Producción de energía mecánica en traslación

3-Introducción al formalismo relativista en rotación

1-Necesidad de un buen planteamiento del problema

2-Ecuaciones clásicas en rotación

3-Planteamiento relativista en rotación

4- Producto vectorial de dos vectores

5- Generalización a cuadrivectores

Formalismo relativista en rotación con cuadrivectores

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