Muñeco que baja la escalera
Una pieza de madera con una ranura en cada extremo baja por una escalera vertical dando medias vueltas alrededor de cada travesaño.
Qué es
Una escalera de madera, vertical, clavada en una base, con seis travesaños. El muñeco es una pieza de madera plana, pintada como un niño con tirantes, un poco más corta que la distancia entre dos travesaños. En cada extremo tiene una ranura redondeada en la que encaja un travesaño.
Se coloca la pieza de pie sobre el travesaño de arriba, con la ranura de abajo encajada en él. Basta un toque mínimo para que empiece a bajar dando medias vueltas, travesaño a travesaño, hasta la base.
Cómo funciona
1. De pie sobre un travesaño: equilibrio inestable
Al principio la pieza está de pie, con su centro de masas justo encima del travesaño. Es un equilibrio inestable, como el de un lápiz de pie sobre su punta: si se inclina un poco, el peso la inclina más. La pieza es un péndulo invertido.
2. Media vuelta alrededor del travesaño
La ranura hace de bisagra: la pieza gira alrededor del travesaño, primero muy despacio y luego cada vez más deprisa, hasta quedar colgando cabeza abajo. Al llegar abajo gira a unas seis vueltas por segundo.
3. Se suelta y cae al travesaño siguiente
Cuando la pieza queda vertical, colgando, la ranura de arriba ya no sujeta el travesaño. La pieza cae, libre, poco más de un centímetro, y su otra ranura encaja en el travesaño de abajo. Ahora está otra vez de pie, como al principio, pero un travesaño más abajo, y todo se repite.
4. Los golpes se llevan la energía
En cada travesaño la pieza baja una altura igual a la separación entre travesaños y pierde esa energía potencial gravitatoria. Casi toda se convierte en giro durante la media vuelta y se pierde en los golpes contra los travesaños. Por eso cada vuelco empieza casi desde el reposo y la pieza baja a ritmo regular, sin acelerarse.
Pruébalo tú
- Cronometra la bajada. Graba el muñeco con el móvil y cuenta cuántos travesaños baja por segundo. En el modelo, unos tres.
- Ponlo de pie con cuidado. Coloca la pieza lo más derecha que puedas sobre el travesaño de arriba y suéltala. Por mucho cuidado que pongas, aguanta poco: la más mínima inclinación crece muy deprisa.
- Un lápiz de pie. Intenta dejar un lápiz de pie sobre su punta, encima de la mesa: también es un péndulo invertido y cae enseguida hacia un lado.
Para saber más
El péndulo invertido
Sea $\varphi$ el ángulo de la pieza con la vertical, $s$ la distancia del travesaño al centro de masas, $m$ la masa e $I = I_{cm} + m s^2$ el momento de inercia respecto del travesaño. Mientras gira apoyada en la ranura,
Cerca de la vertical, $\sin\varphi \approx \varphi$, y una inclinación pequeña crece como $e^{\lambda t}$, con $\lambda = \sqrt{m g s / I}$. Partiendo del reposo con una inclinación $\varphi_0$ pequeña, el tiempo hasta quedar colgando es, según el cálculo numérico,
- Con los valores supuestos ($s = 1{,}9\ \mathrm{cm}$, $I/m = 5{,}56 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$), $\lambda \approx 18{,}3\ \mathrm{s^{-1}}$.
- Desde $\varphi_0 = 2^\circ$, la media vuelta dura $0{,}30\ \mathrm{s}$; con la caída al travesaño siguiente ($0{,}05\ \mathrm{s}$), unos $0{,}35\ \mathrm{s}$ por travesaño.
- Caso límite: si $\varphi_0 \to 0$, el tiempo crece sin límite, pero solo como el logaritmo. Dividir $\varphi_0$ entre diez añade apenas $\ln 10/\lambda \approx 0{,}13\ \mathrm{s}$.
La energía de un travesaño
Al dar la media vuelta, el centro de masas baja $2s$, y la pieza llega abajo con velocidad angular $\omega$ dada por
casi seis vueltas por segundo. En cada travesaño la pieza pierde $m g d$, con $d = 5{,}0\ \mathrm{cm}$ la separación entre travesaños: con $m = 11\ \mathrm{g}$, unos $5{,}4\ \mathrm{mJ}$, que se disipan en los golpes.
Notas sobre el modelo
Los cálculos son míos y usan valores supuestos a partir de la foto: travesaños separados $5{,}0\ \mathrm{cm}$, pieza de $4{,}6\ \mathrm{cm}$ de largo y $1{,}5\ \mathrm{cm}$ de grueso, travesaño a $0{,}4\ \mathrm{cm}$ de cada extremo y $11\ \mathrm{g}$ de masa. Se supone que la ranura hace de bisagra durante toda la media vuelta, que la pieza se suelta al quedar vertical y que cada vuelco empieza casi en reposo, con una inclinación de $2^\circ$. Sirven para entender el mecanismo y el orden de magnitud de los tiempos, no para predecirlos con exactitud.
Conceptos clave
- equilibrio inestable
- péndulo invertido
- momento de una fuerza
- conservación de la energía
- caída libre
- choques inelásticos
Doctor en Física y Profesor Titular de Termodinámica Grado en Física, en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cantabria
Datos y contacto
Facultad de Ciencias. Avda. de los Castros, 48. 39005 Santander | Cantabria
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA