Peonza de vástago largo
Una peonza de madera maciza que se hace girar frotando su largo vástago entre las palmas: la más sencilla para entender el giro.
Qué es
Dos peonzas de madera maciza y homogénea, torneadas, con un vástago muy largo y fino. No llevan cuerda: se hacen girar frotando el vástago entre las palmas de las manos, con la punta hacia abajo, y se sueltan sobre la mesa.
Son seguramente las peonzas más sencillas de describir: un cuerpo de revolución que gira alrededor de su eje de simetría.
Cómo funciona
1. Quieta, se cae
Apoyada en su punta y quieta, la peonza está en equilibrio inestable: el peso y la fuerza de la mesa se anulan, pero la menor perturbación hace que caiga y que su centro de gravedad baje (Güémez, 2007).
2. Dos fuerzas iguales y opuestas: gira sin desplazarse
Al frotar el vástago, cada palma lo empuja en un sentido. Las dos fuerzas son iguales y opuestas, así que su suma es cero y el centro de masas no se mueve. Pero sus momentos se suman: forman un par de fuerzas que hace girar la peonza cada vez más deprisa (Güémez, 2007).
Cuando se suelta, ya nada la frena salvo el rozamiento con la mesa y con el aire: por la ley de la inercia, sigue girando (Güémez, 2007).
3. El vástago fino multiplica las vueltas
Como el vástago es muy fino, cada centímetro que se mueven las palmas se convierte en muchas vueltas. Con un vástago de 2,5 mm de radio y las palmas moviéndose a medio metro por segundo, la peonza puede girar a unas 32 vueltas por segundo.
Si se intentara hacerla girar por el borde del disco, con la misma velocidad de las manos, apenas daría 3 vueltas por segundo: demasiado poco, como se verá, para que se mantenga en pie. Además, el vástago largo deja sitio para las dos palmas.
4. Girando, no se cae: precesión
Si la peonza que gira se inclina un poco, el peso intenta tumbarla. Pero, en lugar de caer, su eje empieza a girar despacio alrededor de la vertical: es la precesión (Güémez, 2007).
El momento del peso es perpendicular al momento angular de la peonza: cambia su dirección, no su tamaño, y el eje se desplaza de lado en vez de caer.
Pruébalo tú
- Hazla girar. Frota el vástago entre las palmas, con la punta hacia abajo, y suéltala sobre una mesa lisa. ¿Cuánto tiempo gira?
- Mira cómo se tambalea al final. Cuando se va frenando, el vástago empieza a dibujar círculos cada vez más rápidos, hasta que cae.
- Prueba por el borde. Intenta hacerla girar sujetando el disco con los dedos, como una peonza corriente. ¿Aguanta tanto como frotando el vástago?
- Compara las dos peonzas. ¿Cuál gira más tiempo, la de disco ancho y plano o la de cuerpo grueso y redondeado?
Para saber más
El par de fuerzas
Las dos palmas ejercen sobre el vástago, de radio $r$, dos fuerzas de rozamiento iguales y opuestas, $F$ y $-F$. Su resultante es nula, de modo que la aceleración del centro de masas es cero, y su momento respecto del eje es
donde $I$ es el momento de inercia respecto del eje y $\alpha$ la aceleración angular (Güémez, 2007). Mientras actúa el par durante un tiempo $t$, la velocidad angular crece hasta $\omega = \alpha t$.
Cuánto gira
Si el vástago rueda sin deslizar entre las palmas, que se mueven en sentidos opuestos con velocidad $v$, la velocidad angular es $\omega = v/r$. Con una peonza modelo (disco macizo de $R = 3\ \mathrm{cm}$ y $1{,}5\ \mathrm{cm}$ de espesor, madera de $650\ \mathrm{kg/m^3}$):
- masa $m \approx 28\ \mathrm{g}$ y momento de inercia $I = \tfrac{1}{2} m R^2 \approx 1{,}2 \times 10^{-5}\ \mathrm{kg\,m^2}$;
- con $v = 0{,}5\ \mathrm{m/s}$ y $r = 2{,}5\ \mathrm{mm}$: $\omega \approx 200\ \mathrm{rad/s}$, unas 32 vueltas por segundo;
- energía cinética de rotación: $\tfrac{1}{2} I \omega^2 \approx 0{,}25\ \mathrm{J}$.
Caso límite: haciéndola girar por el borde ($r = R$), con las mismas manos, $\omega = v/R \approx 17\ \mathrm{rad/s}$.
La precesión
Si el centro de masas está a una distancia $d$ de la punta, la velocidad angular de precesión es (Güémez, 2007)
válida cuando $\Omega$ es mucho menor que $\omega$. Con $d = 1\ \mathrm{cm}$ y $\omega = 200\ \mathrm{rad/s}$ sale $\Omega \approx 1{,}1\ \mathrm{rad/s}$: el eje da una vuelta en unos 6 s. Al frenarse la peonza, $\omega$ disminuye y la precesión se acelera.
La velocidad mínima
Una peonza girando en vertical solo es estable si gira lo bastante deprisa:
donde $I_\perp$ es el momento de inercia respecto de un eje horizontal que pasa por la punta. Para la peonza modelo, $\omega_{\min} \approx 25\ \mathrm{rad/s}$, unas 4 vueltas por segundo. Por eso no basta con hacerla girar por el borde, y por eso, cuando el rozamiento la frena por debajo de ese valor, se tambalea y cae.
Para leer más
- J. Güémez, Física de juguetes y dispositivos sencillos. Peonzas y giróscopos, Departamento de Física Aplicada, Universidad de Cantabria (2007). Notas de clase.
Conceptos clave
- equilibrio inestable
- par de fuerzas
- momento de una fuerza
- momento de inercia
- momento angular
- precesión
- rozamiento
Doctor en Física y Profesor Titular de Termodinámica Grado en Física, en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cantabria
Datos y contacto
Facultad de Ciencias. Avda. de los Castros, 48. 39005 Santander | Cantabria
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA