Descenso más rápido
Dos carriles unen los mismos puntos, uno recto y otro curvo; la bola que va por la curva, más larga, llega antes.
Qué es
Dos carriles metálicos salen del mismo punto, en lo alto de un soporte blanco, y llegan a la misma altura, unos 80 cm más allá. Uno es recto; el otro es una curva que baja deprisa al principio y llega casi horizontal al final. Al final de cada carril hay una lata vacía que recoge la bola.
Se sueltan dos bolas a la vez, una por cada carril. ¿Cuál llega antes? Es un aparato que se encuentra, en distintas versiones, en muchos museos de la ciencia (Güémez, 2007).
Cómo funciona
1. El camino más corto no es el más rápido
La recta es el camino más corto entre los dos puntos. Aun así, la bola que va por la curva, que recorre algo más, llega antes, y con clara ventaja. Lo que cuenta no es solo la distancia, sino también lo deprisa que se recorre (Güémez, 2007).
2. Gana la que coge velocidad antes
Al final, las dos bolas llevan la misma rapidez, porque han bajado la misma altura: la energía potencial que pierden se convierte en energía cinética, sea cual sea el camino. La diferencia está en cuándo la consiguen.
Por la recta, la pendiente es suave todo el rato: la bola acelera poco a poco y solo alcanza su rapidez máxima al llegar. Por la curva, la caída del principio le da casi toda su rapidez enseguida, y recorre el resto del camino deprisa (Güémez, 2007).
3. La curva más rápida de todas: la braquistócrona
La curva del aparato no es la más rápida posible. La curva por la que se baja en el menor tiempo se llama braquistócrona («tiempo más corto», en griego) y es una cicloide: la curva que dibuja un punto de una rueda que rueda (Güémez, 2007). Empieza en vertical, para ganar velocidad cuanto antes.
Con las proporciones de este aparato, la braquistócrona baja 28 cm, el doble del desnivel entre los dos extremos, y luego vuelve a subir hasta el final. Aunque baje y suba, gana: la bola tarda 0,56 s, frente a 0,71 s por la curva y 0,98 s por la recta, si se deslizan sin rozamiento.
Pruébalo tú
- Haz tu propia carrera. Con dos canaletas de plástico flexible (de las de cables), haz una rampa recta y otra que baje deprisa al principio, entre los mismos dos puntos. Suelta dos canicas a la vez.
- Escucha la llegada. Pon una lata vacía al final de cada canaleta: el golpe de las canicas te dirá cuál llega antes, aunque no lo veas.
- Exagera la curva. Haz que la curva baje por debajo del final y vuelva a subir. ¿Sigue ganando a la recta? Prueba con varias profundidades.
Para saber más
La misma rapidez al llegar
Si una bola desliza sin rozamiento y baja una altura $H$, la conservación de la energía da su rapidez al llegar:
Con $H = 14\ \mathrm{cm}$ (supuesta), $v = 1{,}66\ \mathrm{m/s}$ por cualquier camino (Güémez, 2007). Por la recta, de longitud $s = \sqrt{L^{2} + H^{2}} = 81{,}2\ \mathrm{cm}$ y aceleración constante $g H/s$, la bola tarda $t = s\,\sqrt{2/(g H)} = 0{,}98\ \mathrm{s}$: su rapidez media es la mitad de la final.
Un camino de dos tramos
En una rampa con altura $h$ igual a su base, un camino de dos tramos rectos A–O–B, con O en la bisectriz del ángulo recto a una distancia $x$ de cada cateto, se recorre en (Güémez, 2007)
- Con $x = h/2$ es la recta: $t = 2\sqrt{h/g}$.
- Con $x \to 0$ (caída vertical y tramo horizontal): $t = \tfrac{3}{2}\sqrt{2h/g} \approx 2{,}12\sqrt{h/g}$, más lento.
- El mínimo está en $x \approx 0{,}33\,h$: $t \approx 1{,}87\sqrt{h/g}$, un 6 % menos que la recta.
La cicloide
La braquistócrona que sale de A es $x = r(\theta - \sin\theta)$, $y = r(1 - \cos\theta)$, con $y$ hacia abajo. Para que pase por B, a $L = 80\ \mathrm{cm}$ y $H = 14\ \mathrm{cm}$ (supuestos), $\theta_{\rm B} = 270^\circ$ y $r = 14\ \mathrm{cm}$. Sobre ella, $\theta$ crece de forma uniforme:
Una bola que rueda en vez de deslizar tarda más, al menos un factor $\sqrt{7/5} \approx 1{,}18$ si es maciza (Güémez, 2007), pero ese factor es casi el mismo en los tres caminos y el orden de llegada no cambia.
Para leer más
- J. Güémez, Física de juguetes y dispositivos sencillos. Descenso más rápido, Departamento de Física Aplicada, Universidad de Cantabria (2007). Notas de clase.
Conceptos clave
- descenso más rápido
- braquistócrona
- cicloide
- tautócrona
- conservación de la energía
- plano inclinado
Doctor en Física y Profesor Titular de Termodinámica Grado en Física, en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cantabria
Datos y contacto
Facultad de Ciencias. Avda. de los Castros, 48. 39005 Santander | Cantabria
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA