On the relativistic conveyor belt

Abstract

A relativistic four-vector fundamental equation formalism is used to analyse processes that are carried out on a conveyor belt, in reference frames $S$ (with the conveyor belt at rest, ground) and $\bar{S}$ (moving conveyor belt frame); these processes involve thermal effects. Examples solved are: a block thrown with initial speed on an inclined plane conveyor belt, and a ring launched with initial linear velocity on a moving belt. For each process, a four-vector fundamental equation is obtained, first in frame $S$, and then it is transformed by the Lorentz transformation to the process’ four-vector fundamental equation in $\bar{S}$. It is shown that Newton’s second law and the first law of thermodynamics are no-independent equations. In this description, Newton’s second law in frame $\bar{S}$, in which forces are non simultaneously applied, includes terms related to linear momentum for heat (relativistic Doppler effect). The first law of thermodynamics in $\bar{S}$ includes the motor’s performed work to keep the belt moving at a constant speed (conveyor belt effect). Classical descriptions of processes are obtained by taking the relativistic equations’ low-speed limit, keeping the conveyor belt effect.

Resumen

Se utiliza un formalismo relativista de ecuación fundamental cuadrivectorial para analizar procesos que tienen lugar sobre una cinta transportadora, en los sistemas de referencia $S$ (el suelo, con la cinta transportadora en reposo) y $\bar{S}$ (el sistema de la cinta transportadora en movimiento); estos procesos incluyen efectos térmicos. Los ejemplos resueltos son un bloque lanzado con velocidad inicial sobre una cinta transportadora en plano inclinado y un aro lanzado con velocidad lineal inicial sobre una cinta en movimiento. Para cada proceso se obtiene una ecuación fundamental cuadrivectorial, primero en el sistema $S$; después, mediante la transformación de Lorentz, se transforma en la ecuación fundamental cuadrivectorial del proceso en $\bar{S}$. Se muestra que la segunda ley de Newton y el primer principio de la termodinámica no son ecuaciones independientes. En esta descripción, la segunda ley de Newton en el sistema $\bar{S}$, en el que las fuerzas no se aplican simultáneamente, incluye términos relacionados con el momento lineal del calor (efecto Doppler relativista). El primer principio de la termodinámica en $\bar{S}$ incluye el trabajo que realiza el motor para mantener la cinta en movimiento a velocidad constante (efecto cinta transportadora). Las descripciones clásicas de los procesos se obtienen tomando el límite de baja velocidad de las ecuaciones relativistas, conservando el efecto cinta transportadora.

Traducción al castellano del abstract original.